Comparación de métodos numéricos para la simulación de polimerizaciones estáticas

En el presente trabajo se realiza una comparación de diversos métodos utilizados para resolver numéricamente un modelo matemático planteado para una polimerización estática, particularmente en lo relativo a la transferencia de calor. La geometría es unidimensional en el espacio, con simetría respecto de un plano central y condiciones variables o ajustables en la frontera del sistema. Este modelo no puede resolverse analíticamente, por lo que se requiere una solución numérica. Los métodos numéricos utilizados para la comparación son de tres tipos: diferencias finitas, colocación ortogonal y elementos finitos. Para diferencias finitas se utilizan tres variantes: hacia adelante, hacia atrás y el método de Crank-Nicolson. En elementos finitos se utilizan tres tipos de polinomios: de primer grado, de segundo grado y de Hermite. En todos los casos se utiliza el método de Runge-Kutta de cuarto orden, con extrapolación de Richardson, para integrar la ecuación de la velocidad de reacción, es decir, para obtener la generación de calor instantánea en cada nodo espacial y temporal e incorporarla a la transferencia de calor.

La estrategia de comparación comprende: a) Comparar y analizar los resultados obtenidos para un caso adiabático. b) Determinar las limitaciones de los diversos métodos respecto de la posibilidad de resolver el modelo planteado. c) Comparar los métodos que lo permiten, con un caso relativamente similar en su aspecto matemático para el cual exista una solución analítica, aunque no corresponda a una polimerización estática. Esta etapa da las bases para escoger un método como referencia para las demás comparaciones, en el caso en el que no existe solución analítica. d) Comparar los métodos que lo permiten, en la solución de un caso con pared isotérmica. e) Comparar todos los métodos en la solución de un caso intermedio entre el adiabático y el de pared isotérmica.

Los resultados encontrados son: a) Dada la diversidad de condiciones y resultados obtenidos, no existe un método que muestre completa superioridad en todos los casos, sino sólo en condiciones específicas. b) Se utilizó como referencia para las comparaciones el método de Crank-Nicolson, lo cual supone cierta confiabilidad encontrada en éste. En casos particulares, especialmente cuando se utilizan pocos nodos espaciales, otros métodos, como el de colocación ortogonal y elementos finitos con polinomios de Hermite, producen un menor error. c) La principal causa de divergencia se debe a la generación de calor interna por la reacción química. Ésta puede presentarse en cualquier método y puede depender de los parámetros asignados para el cálculo, como el tamaño de paso temporal y no sólo de las características propias del método. d) La siguiente causa de divergencia o inexactitud es la aparición de una “oscilación” de la temperatura de la pared del molde, carente de significado físico, asociada con la condición de frontera que se utilizó para el modelado matemático. e) Si no se presenta divergencia ni oscilación, todos los métodos convergen a resultados similares, aunque con diferentes magnitudes de error involucrado. f) El error generado por cada método depende del tamaño de paso temporal y de la cantidad de nodos espaciales, en forma característica para cada uno, por lo que no se encontró un único método recomendable. g) En general se obtiene mayor reducción del error cuando se disminuye el tamaño de paso temporal que cuando se aumenta el número de nodos espaciales. Además, la reducción del tamaño de paso temporal implica generalmente menos trabajo de cómputo que el aumento del número de nodos espaciales.